请教数学高手一个问题:若实数a,b,c>0且ab+bc+ca=1,求u=1⼀(a+b)+1⼀(b+c)+1⼀(c+a)最小值

这是一道麻烦的竞赛题，不适合一般学生做的。
解：我们设a<=b<=c
再设f(a,b,c)=1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)
则f(0,a+b,1/(a+b)=1/(a+b)+(a+b)+1/(a+b+1/(a+b))
则f(a,b,c)-f(0,a+b,1/(a+b)) =1/(a+c)+1/(b+c)-(a+b)-1/(a+b+1/(a+b))
(1) 因为ab+bc+ca=1 所以c=(1-ab)/(a+b)
(2) 把(2)带入(1)可以求出 f(a,b,c)-f(0,a+b,1/(a+b))>=0 所以f(a,b,c)>=f(0,a+b,1/(a+b))
而f(0,a+b,1/(a+b)) =1/(a+b)+(a+b)+1/(a+b+1/(a+b)) =((a+b)^2+1)/(a+b)+(a+b)/(1+(a+b)^2)
(3) 而 ((a+b)^2+1)/(a+b) =(a+b)+1/(a+b) >=2*√((a+b)*1/(a+b))=2 所以(3)>=2+1/2=5/2 所以1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a) =f(a,b,c) >=f(0,a+b,1/(a+b)) >=5/2