（1）、如图一
证明：连结AD
∵△ABC是等腰直角三角形，D是斜边BC的中点
∴∠B=∠QAD=45°，AD=BD，AD⊥BC
又∵BP=AQ （已知）
∴△BPD≌△AQD （SAS）
∴PD=QD，∠BDP=∠ADQ
∴∠PDQ=∠ADQ+∠ADP=∠BDP+∠ADP=∠ADB
∵AD⊥BC （已证）即∠ADB=Rt∠
∴∠PDQ=Rt∠
∴△PDQ是等腰直角三角形
（2）、如图二
当P运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形。理由如下：
因为在△ABD中，AD=BD，∠ADB=Rt∠（上面已证），所以△ABD也是等腰直角三角形，而且∠PDQ=Rt∠（上面已证）当P运动到AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=Rt∠，此时四边形APDQ中，∠PAQ=∠PDQ=∠APD=Rt∠，四边形APDQ是矩形，又因为PD=QD （上面已证），即四边形APDQ是正方形。
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