怎么证明可逆的上三角矩阵的逆矩阵仍是上三角矩阵书上提示说证明

直接利用逆矩阵的定义即可。证明如下：

显然,任意2阶上三角矩阵的伴随矩阵为上三角矩阵； 
设任意n阶上三角矩阵的伴随矩阵为上三角矩阵,则对于n+1阶上三角矩阵A,
证明其伴随矩阵A伴随为上三角矩阵.

拓展资料

• 三角矩阵

  

三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。

比如，由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解，在解多元线性方程组时，总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解；又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积，很容易计算。有鉴于此，在数值分析等分支中三角矩阵十分重要。一个所有顺序主子式不为零的可逆矩阵A可以通过LU分解变成一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积。

参考资料 作业帮

直接利用逆矩阵的定义即可。证明如下：

1、把一个n阶上三角矩阵A分块成，A11 A12 0 A22，其中A11是1阶的,A22是n-1阶的，然后解方程AX=I,其中X也分块，X11 X12 X21 X22；

2、把X解出来得X11=A11^{-1},X21=0,X22=A22^{-1},X12可以不用管，然后对A22用归纳假设。

拓展资料

三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。

三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。比如，由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解，在解多元线性方程组时，总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解；又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积，很容易计算。有鉴于此，在数值分析等分支中三角矩阵十分重要。一个所有顺序主子式不为零的可逆矩阵A可以通过LU分解变成一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积。

参考资料来源：百度百科：三角矩阵

要求A的逆，只要解方程AX=I就行了。

直接把AX=I展开出来看一下就知道如果A是上三角阵那么X必定也是上三角阵（简单一点可以用归纳法）。

直接利用逆矩阵的定义即可。证明如下：

扩展资料：

三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。

以主对角线划分，三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵两种。

①上三角矩阵

如图所示，它的主对角线以下(不包括主对角线)的元素均为常数0。

②下三角矩阵

与上三角矩阵相反，它的主对角线上方均为常数0。

由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解，在解多元线性方程组时，总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解；又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积，很容易计算。有鉴于此，在数值分析等分支中三角矩阵十分重要。一个所有顺序主子式不为零的可逆矩阵A可以通过LU分解变成一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积。

两种证法

方法1：

若T是上三角矩阵，求解线性方程组TS=I，从右下角开始向前求解，可以按分块形式来写

S(n,n)=1/T(n,n)

S(n,1:n-1)=0

S(1:n-1,n)=-T(1:n-1,1:n-1)^{-1}T(1:n-1,n)S(n,n)   ——这块不重要

S(1:n-1,1:n-1)=T(1:n-1,1:n-1)^{-1}     ——这个地方用归纳法

归纳一下即可。

方法2：

利用ST=TS=I，忽略等于I的条件，直接可以证明和T可交换的矩阵必定是上三角阵。利用线性性只需要考察i>j时T和E_{i,j}(表示i行j列为1，其余位置为0的矩阵)不可交换。

设A是一个三角矩阵,
则AA^T=B,由三角阵的定义得,
B是一个对称可逆矩阵,
所以B=B^T,有(B^-1)^T=(B^T)^-1=B^-1
得到B^-1也是对称阵,
所以(AA^T)^-1=B^-1=(A^T)^-1A^-1=(A^-1)^TA^-1
即至少存在一个三角阵A^-1有(A^-1)^TA^-1为一对称阵
且A^-1有且只有一个
所以可逆的上三角矩阵的逆矩阵仍是上三角矩阵

拓展资料：

1、主对角线以下都是零的方阵称为上三角矩阵。上三角矩阵具有行列式为对角线元素相乘、上三角矩阵乘以系数后也是上三角矩阵、上三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上三角矩阵等性质。

2、矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

参考资料：百度百科：上三角矩阵

百度百科：可逆矩阵

这个问题挺复杂的，证明过程：

1、把一个n阶上三角矩阵A分块成：
A11 A12
0 A22

2、其中A11是1阶的,A22是n-1阶的，然后解方程AX=I,其中X也分块；
X11 X12
X21 X22

3、把X解出来得到X11=A11^{-1},X21=0,X22=A22^{-1},X12可以不用管
然后对A22用归纳假设。

拓展资料：

主对角线以下都是零的方阵称为上三角矩阵。上三角矩阵具有行列式为对角线元素相乘、上三角矩阵乘以系数后也是上三角矩阵、上三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上三角矩阵等性质。

参考资料：上三角矩阵百度百科