09年全国初中数学联赛一题

从a^2+b^2=1，可知a，b均属于[-1,1]。
原式化为：‖1-2a+b‖＝b^2-(a＋1)^2≥0。可知a≤0，否则等式右边小于零。
又b^2-(a＋1)^2≤b^2≤1，所以b≤0，否则‖1-2a+b‖＞1。
那么绝对值里面的数为非负数，去掉绝对值，代入a^2=1-b^2，即可解答。

更直接的方法：去掉绝对值，有两种情形。解之，验证。

设a=cost,b=sint
则‖1-2cost+sint‖=cos2t-1-2cost
平方后化简

-1

-1
解析：将a^2+b^2=1代入‖1-2a+b‖+2a+1=b^2-a^2中，整理得‖1-2a+b‖=-2（a^2+a）,开方，整理得4a^4+8a^3+4a+4ab-b^2-2b-1=0,即2a^2*(2a^2+4a)+4a*(b+1)-(b+1)^2=0,即（2a^2+(b+1)）*(2a^2+4a-(b+1))=0,然后相乘的二个括号各位0来计算，解的a=0，b=-1，所以a+b=-1.
或者可以分别令‖1-2a+b‖大于，小于，等于0，去掉绝对值，再结合题中的二个数字计算。

由第一个式子知:-1<=a<=1,0<=a^2<=1
-1<=b<=1,0<=b^2<=1
所以b^2-a^2<=1
且1+2a+|1+b-2a|<=1
即1+2a<=1
所以a<=0
则1+b-2a 恒为正 (1+b>=0,a<=0)
化简得到
2b^2-b-3=0
解方程得
b=-1或b=3/2
b=-1时a=0,符合条件
b=2/3不符合b<=1
故b=-1，a=0
所以a+b=-1;