浅谈如何巧用定义来解数学题

据统计,对定义的考查在高考150分中约占40分,有相当大的比重。定义法也是高中数学解题方法中比较基本、比较重要的一种方法。所谓定义法就是直接用数学的定义解决问题的一种方法。数学中的定理、公式、性质和法则等都是由定义和公理推演出来的。下面我们通过一些具体的例子来说明定义法的应用。
例l已知集合A中有2个元素,集合B中有7个元素,集合A∪B中的元素个数为n,则n= () (n∈N+)。
解:因为A中有2个元素,B中有7个元素,所以A∪B中最多有9个元素,最少有7个元素,所以集合A∪B中的元素个数7、8、9。
说明:集合是一个不加定义的概念。本题考查的是集合中元素的性质:互异性。
例2设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线,则MP、OM、AT的大小关系是( )。
解:因为∠POA=46°,所以AT>MP>OM。
说明:本题考查的是三角函数线的定义。用类似的方法也可以证明:当x∈(0,)时,tanx>x>sinx
例3已知定义在R上的非零函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)的奇偶性是( )。
解:令x=y=0,f(0+0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0。令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0。所以y=f(x)是奇函数。
说明:本题考查的是函数奇偶性的定义。
例4设A{1,2,3,4｝,B={1,2,3｝,则A→B:f的映射有()个。
解;可以建立从A→B的映射有3×3×3×3=81个。
说明:本题考查的是映射的定义:A中的每一个元素在B中都有唯一的一个元素与之对应。
变式:A={1,2,3,4｝,B={1,2,3｝,则A→B:f使B为值域的函数有()个。
解:要使B为值域,则必须满足B中的每一个元素都有原象,那么A中的4个元素必须分成三组,与B中的元素对应,则可以建立 =36个映射。
说明:本题除了考查映射的定义以外,还考查了排列组合的应用。
例5设数列{an｝的前n项和为Sn,若Sn=1- an (n∈N ),bn=(2n+1)Sn,证明数列{bn}为等差数列。
解:∵an=Sn-Sn-1(n≥2),∴
∴(2n+1)Sn-(2n-1) Sn-1=1,即bn-bn-1=1。∴数列{bn}为等差数列。
说明:本题考查的是等差数列的定义。
例6求出经过点M(1,2)且以)y轴为准线、离心率为的椭圆左顶点的轨迹方程。
分析:条件中出现“准线”“焦半径”“离心率e”,可用第二定义求解,注意到|PF|也是焦半径,故|PF|应等于P到准线(y轴)距离的一半。
解:如图,由题意,椭圆在y轴右侧,且长轴与x轴平行,设椭圆左顶点为P(x,y),由e=
知左焦点是F(x,y),又因为M到准线y轴的距离是1,所以由椭圆定义有,即 ,故所轨迹求方程为9
说明:本题是利用椭圆的第二定义求椭圆的顶点轨迹的。
例7已知F 、F 是双曲线C: =1的焦点,P是双曲线上一点,且|PF1|・|PF2|=164,求∠F1PF2。
解:如图,由条件|F1F2|=2×√16+9 =10,
由余弦定理有
COS∠F1PF2
说明:本题考查的是双曲线的定义。
例8线段AB=3,其两端点在抛物线y2=x上,求AB中点M到y轴的最短距离,并求出距离最短时,点M的坐标。
分析:线段AB并非焦点弦,但可作出过A、B的焦点弦AF、BF,在△ABF中利用三角形边的不等关系求解。
解:如图,设曲线焦点为F,A、B、M(x,y)到准线x=-的距离分别是a、x+ 、b,由|AB|=3≤|AF|+|BF|=a+b=2(x+ )得x≤5,即当AB经过焦点时,M到y轴的距离最小为。此时作MN⊥x轴,垂足为N,在Rt△MNF中易求得MN= ,即M的坐标为( ,±)。
说明:本题中虽未出现“焦半径”“准线”之类的条件,但上述解法结合了平面几何图形的几何性质并巧妙利用抛物线的定义,得到了比标准答案中的解法简单得多的解法,实乃充分利用基本定义解题的典型范例。