应该是演草纸上先试着将分母分解，出来 (x+2)^2 后为书写方便引入新变量。
这样的题谁也不可能一开始就令 t=x+2 。
首先，我先尝试自己自己做了下，如下图所示，在看过了你的答案之后，发现做法确实简化一些，比较之后，发现我将分母因式分解后的结果为x^3-3x^2+4=(x-2)^2(x+1),而题目中的替代方法：x=t+2，可将分母的因式分解形式做进一步简化，同时积分变量的替换很简单，分子的变化也很简单，一定可以将这个分式化简，这就是想到该替代方法的思维过程。
解法如下图，个人见解，仅供参考。
这个题目x=t+2不是重点。重点是这类的分式函数的积分你要怎么处理。首先要确定你的分式函数要是真分式函数（分子的多项式次数要小于分母的多项式次数）。否则可以用多项式除法写成一个多项式+一个真分式函数。其次，对于真分式函数的积分，就是你题目里这种，可以采用因式分解的方法进行处理。这个课本里面应该有例题。你仔细翻翻书，这类题目有个统一的解题套路的
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