如何计算一个数的平方根

平方根的计算方法计算方法一：我们用a来表示A的平方根，方程x-a=0的解就为A的平方根a。两边平方后有：x*x-2ax+A=0，因为x不等于0，两边除以x有：x-2a+A/x=0、a=(x+A/x)/2所以你只需设置一个约等于(x+A/x)/2的初始值，代入上面公式，可以得到一个更加近似的值。再将它代入，又可以得到一个更加精确的值……依此方法，最后得到一个足够精度的(x+A/x)/2的值即为A的平方根值。真的是这样吗?假设我们代入的值x﹤a
由于这里考虑a﹥0故：x*x﹤a*a
即x﹤A/x(x+A/x)/2﹥(x+x)/2
即（x+A/x)/2>x
即当代入的x﹤a时(x+A/x)/2的值将比x大。同样可以证明当代入的x﹥a时(x+A/x)/2的值将比x小。这样随着计算次数的增加，(x+A/x)/2的值就越来越接近a的值了。如:计算sqrt(5)
设初值为x
=
2
第一次计算：(2+5/2)/2=2.25
第二次计算：(2.25+5/2.25)/2=2.236111
第三次计算：(2.236111+5/2.236111)/2=2.236068
这三步所得的结果和5
的平方根值相差已经小于0.001
了。
计算方法二：我们可以使用二分法来计算平方根。设f(x)=x*x
-
A同样设置a为A的平方根，哪么a就是f(x)=0的根。你可以先找两个正值m,n使f(m)<0,f(n)>0
根据函数的单调性,a就在区间(m,n)间。然后计算(m+n)/2,计算f((m+n)/2),如果它大于零,那么a就在区间(m,(m+n)/2)之间。小于零,就在((m+n)/2,n)之间,如果等于零,那么(m+n)/2当然就是a。这样重复几次,你可以把a存在的范围一步步缩小,在最后足够精确的区间内随便取一个值,它就约等于a。计算方法三：以上的方法都不是很直接，在上世纪80年代的初中数学书上，都还在介绍一种比较直接的计算方法：(1)如求54756的算术平方根时先由个位向左两位两位地定位:定位为5,47,56,接着象一般除法那样列出除式.(2)先从最高位用最大平方数试商:最大平方数不超过5的是2,得商后,除式5-4后得1。把商2写上除式上。(3)加上下一位的数:得147。(4)用20去乘商后去试商147:2×20=40
这40可试商为3,那就把试商的3加上40去除147。得147÷43=3,把3写上除式上。这时147-129=18。(5)加上下一位的数:得1856。(6)用20去乘商后去试商1856:23×20=460
这460可试商为4,那就把试商的4加到460去除1856。得4,把4写上除式上。这时1856-1856=0,无余数啦。(7)这时除式上的商是234,即是54756的平方根。哪么这种计算方法是怎么得来的呢？查找了好久都没有找到答案。静下心来仔细分平方根的计算过程，后来的步骤都有20乘以也有的商再加上预计的商乘上预计的商。设也有的商为a预计的商为b就是(20*a+b)*b即20ab+b*b。而实质上预计的商是平方根中已有的商的后一位数字，平方根实际为10a+b再乘以10的N次方（N为整数），这里我们可以简化为平方根为10a+b（因为乘10的N次方只影响平方的小数点位置，对数字计算没有影响）。这下终于明白了,设a为A的平方根的前n位，b为A的平方根的n位后面的数字，哪么（10a+b)就是A的平方根。有：(10a+b)(10a+b)=100a*a+20ab+b*b=A变形后：(20a+b)b=A-100a*a上面的计算中第一次商2，然后从结果中减4实质就是A-100a*a第二次再预计商3再减去(20*2+3)*3实质就是：A-100a*a-20ab-b*b即：A-(10a+b)(10a+b)此时10a+b看作为新的已有商a，再求下一个b值。这样就可以一位一位地进行平方根的求解了。

说一下笔算开方过程：1、先分组，从小数点向两侧两位一组。比如1326.78，那么13一组，26一组，78一组；132.538，1一组，32一组，53一组，80一组（小数部分必须用0补足两位；2、像除法计算一样，把这个数写在根式下（但没有除数）以1326.78为例：先想第一组13，几的平方最接近（不能大于）13？答案是3，在根号上面第一组的上面写3，13的下面写9，然后13-9=4拖下，再把第二组写在4的后面成426（类似于除法计算，但一次拖下一组；3、把上面的3乘以20写在现在这个被开方数426的前面（当作本次的除数，先写一个6，想：六十几乘以几接近426呢？注意：这两个几是相同的数！）如果是67，乘以7大于426，所以写66，在上面第二组上写6，把66乘以6的积写在426下面，相减得30，再把第三组78拖下写在30后面，成3078，小数点对齐写在上面的36后面；4、把上面的36（发现没有，每次都是用上面的数，上一次是3，这一次是36，下一次就是……全部上面的数）乘以20（每一次都乘以20，这个是不变的），得720，把72写在3078前面，想七百二十几乘以几不大于3078？上面写4，用4乘以724，积写在3078下面，相减得182，在182后面填上两个0，成18200，再如上方法计算……

你问的是笔算吗？