曲线的交点怎么求？

2025-03-24 16:55:53

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回答1：

圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线。圆锥曲线包括椭圆（圆为椭圆的特例）、抛物线、双曲线。起源于2000多年前的古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线。

圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的商是常数e（离心率）的点的轨迹。当e>1时，为双曲线的一支，当e=1时，为抛物线，当0

2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线[1-3] ，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时,则可得到双曲线）。

阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。

几何观点

用一个平面去截一个二次锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections）。

通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：

1) 当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

2) 当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。

3) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

4) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。

5) 当平面只与二次锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果为一点。

6) 当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。

7) 当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

注意，上述曲线类中不含有二次曲线：两平行直线。

代数观点

在笛卡尔平面上，二元二次方程

的图像称为二次曲线。根据判别式的不同，包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。

焦点--准线及其推广观点

传统的焦点-准线统一定义

（许多年来沿用的焦点--准线观点只能定义圆锥曲线的主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其形式简明美观，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质，而受青睐并广泛运用。）

给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。

根据e的范围不同，曲线也各不相同。具体如下：

1) e=0，轨迹为一点或一个圆；

2) e=1（即到P与到L距离相同），轨迹为抛物线；

3) 0

4) e>1，轨迹为双曲线。

2.一、二次曲线的统一定义

（《数学通报》2016.12期《一、二次曲线的轨迹统一及性质》一文中，我国中学数学教师胡新平将焦点--准线进行了推广，从而可以给出以下完整的一、二次曲线的统一定义）

平面上有两条互相垂直且相交于点E的直线l，m，点F是直线m上的一定点，|EF|=p，点N 是直线l上一动点，轨迹动点M同时满足下列两条件：

（Ⅰ）动点N与动点M到定直线m的有向距离Nm与Mm有

图片3

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Nm=（1+t）Mm，其中t为实常数；

（Ⅱ）动点M到定点F的距离|MF|与到动点N的距离|MN|有

|MF|=e|MN|，其中e为非负常数，

则在直角坐标变换观点下，动点M的轨迹是一、二次曲线

（约定e=1，t =1，p=0不同时成立）．

点 M 的轨迹具体情形如下：

（A）p≠0时：含六类一、二次曲线类．

e≠0时，

（1）当e=1，|t|=1 时，轨迹是一条一重直线；

（2）当e=1，|t|≠1时，轨迹是抛物线；

图1

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（3）当e<1，e|t|<1，或e>1,e|t|>1时，轨迹是椭圆．其中|t|=1时是圆；

（4）当e≠1，e|t|=1 时，轨迹是两条平行直线；

（5）当e<1,e|t|>1时，或e>1，e|t|<1时，轨迹是双曲线；

e=0时，轨迹是一点

（B）p=0时：含三类一、二次曲线类．

（1）当e<1,e|t|>1时，或e>1，e|t|<1时，轨迹是两条相交直线；

（2）当e=1，e|t|≠1时，或e≠1，e|t|=1时，轨迹是两条重合直线；

（3）当e<1，e|t|<1，或e>1，e|t|>1时，轨迹是一点．

称其中的定点F 和定直线l为对应轨迹曲线的拟焦点和与拟焦点F相应的拟准线．

圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。

我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。

由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条轴，即抛物线的轴。在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后，都成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到单叶双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔（如冷却塔）时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固。

椭圆

从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。

双曲线

从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。

抛物线

从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的对称轴。

一束平行光垂直于抛物线的准线，向抛物线的开口射进来，经抛物线反射后，反射光线汇聚在抛物线的焦点。

希望我能帮助你解疑释惑。

回答2：

x+y=1,①
x^2+y^2=1.②
(①^2-②)/2,得xy=0,
化为x=0,或y=0.
分别代入①，得y=1或x=1.
所以所求交点坐标为(0,1)或(1,0).
用代入消元法也可。

回答3：

其实就是解关于x、y的二元方程组啊