82问答网 > A为3阶矩阵，α1为A关于λ=1的特征向量，α2是AX=0的非零解，α3满足Aα3=α1-α2+α3（小问详见详情）

A为3阶矩阵，α1为A关于λ=1的特征向量，α2是AX=0的非零解，α3满足Aα3=α1-α2+α3（小问详见详情）

（1）证明α1，α2和α3线性无关（2）求A的特征值和特征向量

2025-04-07 11:30:10

推荐回答（2个）

回答1：

这道题选择D。
特征向量α必须不能是0，且存在一个常数m使得Aα=mα
A：首先因为α1、α2是基础解系，所以二者应该是线性无关，因此差值或者是任意组合的和值必然不为零，且Aα1=Aα2=0，所以有：A(α1＋3α2)=m(α1＋3α2)，→Aα1＋3Aα2=m(α1＋3α2)，→0=m(α1＋3α2)，→m=0;
B：A（5α3）=m（5α3）→5Aα3=5mα3→Aα3=mα3，所以m=1
C：原理与A相同。
A（α1－α2）=m(α1－α2) → Aα1－Aα2=m(α1－α2) → 0=m(α1－α2)→m=0
D：A（α2－α3）=m(α2－α3) →0－Aα3=mα2－mα3，无法找到一个m使得等式成立。

回答2：

：首先因为α1、α2是基础解系，所以二者应该是线性无关，因此差值或者是任意组合的和值必然不为零，且Aα1=Aα2=0，所以有：A(α1＋3α2)=m(α1＋3α2)，→Aα1＋3Aα2=m(α1＋3α2)，→0=m(α1＋3α2)，→m=0;