一次函数的图象和性质
一、知识要点：
1、一次函数：若两个变量x,y存在关系为y=kx+b (k≠0, k,b为常数)的形式，则称y是x的函数。
注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；
（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
2、图象：一次函数的图象是一条直线
（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（- ，0）。
（2）正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过（0，0）和（1，k）的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过（- ，0）和（0，b）的一条直线。
（3）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
3、一次函数图象的性质：
（1）图象在平面直角坐标系中的位置:
（2）增减性：
k>0时，y随x增大而增大；
k<0时，y随x增大而减小。
4、求一次函数解析式的方法
求函数解析式的方法主要有三种：
一是由已知函数推导，如例题1；
二是由实际问题列出两个未知数的方程，再转化为函数解析式，如例题4的第一问。
三是用待定系数法求函数解析式，如例2的第二小题、例7。
其步骤是：①根据题给条件写出含有待定系数的解析式；②将x、y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程，得到待定系数的具体数值；④将求出的待定系数代入要求的函数解析式中。
二、例题举例：
例1、已知变量y与y1的关系为y=2y1,变量y1与x的关系为y1=3x+2，求变量y与x的函数关系。
分析：已知两组函数关系，其中共同的变量是y1,所以通过y1可以找到y与x的关系。
解：∵ y=2y1
y1=3x+2,
∴ y=2(3x+2)=6x+4,
即变量y与x的关系为：y=6x+4。
例2、解答下列题目
（1）（甘肃省中考题）已知直线 与y轴交于点A，那么点A的坐标是（ ）。
（A）（0，–3） （B） （C） （D）（0，3）
（2）(杭州市中考题)已知正比例函数 ，当x=–3时，y=6．那么该正比例函数应为（ ）。
（A） （B） （C） （D）
（3）（福州市中考题）一次函数y=x+1的图象，不经过的象限是（ ）。
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
分析与答案：
(1) 直线与y轴交点坐标，特点是横坐标是0，纵坐标可代入函数关系求得。
或者直接利用直线和y轴交点为（0，b），得到交点（0，3），答案为D。
(2) 求解析式的关键是确定系数k，本题已知x=-3时，y=6，代入到y=kx中，解析式可确定。答案D: y=-2x。
(3) 由一次函数y=kx+b的图象性质，有以下结论：
，
题目中y=x+1，k=1>0，则函数图象必过一、三象限；b=1>0，则直线和y轴交于正半轴，可以判定直线位置，也可以画草图，或取两个点画草图判断，图像不过第四象限。
答案：D。
例3、（辽宁省中考题）某单位急需用车；但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月租车合同。设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给出租车公司的月费用是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系图象（两条射线）如图，观察图象回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国营公司的车合算？
（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米，那么这个单位租哪家的车合算？
分析：因给出了两个函数的图象可知一个是一次函数，一个是一次函数的特殊形式正比例函数，两条直线交点的横坐标为1500，表明当x=1500时，两条直线的函数值y相等，并且根据图像可以知道x>1500时，y2在y1上方；0
[或答:当0≤x＜1500(千米)时,租国营公司的车合算]。
(2)每月行驶的路程等于1500千米时,租两家车的费用相同。
(3)如果每月行驶的路程为2300千米,那么这个单位租个体车主的车合算。
例4、（河北省中考题）某工厂有甲、乙两条生产线先后投产。在乙生产线投产以前，甲生产线已生产了200吨成品；从乙生产线投产开始，甲、乙两条生产线每天分别生产20吨和30吨成品。
（1）分别求出甲、乙两条生产线投产后，各自总产量y（吨）与从乙开始投产以来所用时间x（天）之间的函数关系式，并求出第几天结束时，甲、乙两条生产线的总产量相同；
（2）在如图所示的直角坐标系中，作出上述两个函数在第一象限内的图象；观察图象，分别指出第15天和第25天结束时，哪条生产线的总产量高？
分析：（1）根据给出的条件先列出y与x的函数式， =20x+200， ＝30x，当 = 时，求出x。
（2）在给出的直角坐标系中画出两个函数的图象，根据点的坐标可以看出第15天和25天结束时，甲、乙两条生产线的总产量的高低。
解：（1）由题意可得：
甲生产线生产时对应的函数关系式是：y=20x+200，
乙生产线生产时对应的函数关系式是：y=30x，
令20x+200=30x，解得x=20，即第20天结束时，两条生产线的产量相同。
（2）由（1）可知，甲生产线所对应的生产函数图象一定经过两点A（0，200）和
B（20，600）；
乙生产线所对应的生产函数图象一定经过两点O（0，0）和B（20，600）。
因此图象如右图所示，由图象可知：第15天结束时，甲生产线的总产量高；第25天结束时，乙生产线的总产量高。
例5．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。
分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例如y=2x，y=2x+3的图象平行。
解：∵ y=kx+b与y=5-4x平行，
∴ k=-4，
∵ y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴，
∴ b=18，
∴ y=-4x+18。
说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0，b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。
例6．直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。
解：∵ 点B到x轴的距离为2，
∴ 点B的坐标为（0，±2），
设直线的解析式为y=kx±2,
∵ 直线过点A（-4，0），
∴ 0=-4k±2,
解得：k=± ,
∴直线AB的解析式为y= x+2或y=- x-2。
说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。
（1）图象是直线的函数是一次函数；
（2）直线与y轴交于B点，则点B（0，yB）；
（3）点B到x轴距离为2，则|yB|=2；
（4）点B的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b=yB；
（5）已知直线与y轴交点的纵坐标yB，可设y=kx+yB；
下面只需待定k即可。
三、提高与思考
例1．已知一次函数y1=(n-2)x+n的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断y2=(3- )xn+2是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。
解：依题意，得
解得n=-1，
∴ y1=-3x-1,
y2=(3- )x, y2是正比例函数；
y1=-3x-1的图象经过第二、三、四象限，y1随x的增大而减小；
y2=(3- )x的图象经过第一、三象限，y2随x的增大而增大。
说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。
例2．已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB的面积为6平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。
分析：自画草图如下：
解：设正比例函数y=kx，
一次函数y=ax+b，
∵ 点B在第三象限，横坐标为-2，
设B（-2，yB），其中yB<0，
∵ =6，
∴ AO·|yB|=6，
∴ yB=-2，
把点B（-2，-2）代入正比例函数y=kx，得k=1，
把点A（-6，0）、B（-2，-2）代入y=ax+b，
得
解得：
∴ y=x, y=- x-3即所求。
说明：（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式，注意两个函数中的系数要用不同字母表示；
（2）此例需要把条件（面积）转化为点B的坐标。这个转化实质含有两步：一是利用面积公式 AO·
BD=6（过点B作BD⊥AO于D）计算出线段长BD=2，再利用|yB|=BD及点B在第三象限计算出yB=-2。若去掉第三象限的条件，想一想点B的位置有几种可能，结果会有什么变化？（答：有两种可能，点B可能在第二象限（-2，2），结果增加一组y=-x, y= (x+3)。
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