根号下(1＋x눀)的三次方的不定积分

令x= tanu，则dx=(secu)^2 du，可以得到：

∫√(1+x^2)^3 dx

=∫ (secu)^5 du

=∫ (secu)^3 d(tanu)

=(secu)^3 *tanu - 3∫ (secu)^3 (tanu)^2 du

=(secu)^3* tanu - 3∫ (secu)^3 [ (secu)^2 -1 ] du

移项后可得：

4∫ (secu)^5 du = (secu)^3 *tanu + 3∫ (secu)^3 du

所以：∫ (secu)^5du

=(1/4) (secu)^3*tanu + (3/4)∫ (secu)^3 du

=(1/4) (secu)^3*tanu + (3/8)[ secutanu +ln|secu+tanu| ] +C

=(1/4) x√(1+x^2)^3 + (3/8)[ x√(1+x^2) +ln|√(1+x^2)+x| ] +C

扩展资料：

不定积分求法：

1、积分公式法。直接利用积分公式求出不定积分。

2、换元积分法。换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。

（1）第一类换元法（即凑微分法）。通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

（2）第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。

3、分部积分法。设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu 

两边积分，得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。

let
x= tanu
dx=(secu)^2 du
∫√(1+x^2)^3 dx
=∫ (secu)^5 du
=∫ (secu)^3 d(tanu)
=(secu)^3 . tanu - 3∫ (secu)^3 (tanu)^2 du
=(secu)^3 . tanu - 3∫ (secu)^3 [ (secu)^2 -1 ] du
4∫ (secu)^5 du = (secu)^3 . tanu + 3∫ (secu)^3 du
∫ (secu)^5 du
=(1/4) (secu)^3 . tanu + (3/4)∫ (secu)^3 du
=(1/4) (secu)^3 . tanu + (3/8)[ secu.tanu +ln|secu+tanu| ] +C
=(1/4) x.√(1+x^2)^3 + (3/8)[ x.√(1+x^2) +ln|√(1+x^2)+x| ] +C
ie
∫√(1+x^2)^3 dx
=(1/4) x.√(1+x^2)^3 + (3/8)[ x.√(1+x^2) +ln|√(1+x^2)+x| ] +C
--------------------
consider
∫ (secu)^3 du
= ∫ (secu dtanu
=secu.tanu -∫ secu.(tanu)^2 du
=secu.tanu -∫ secu.[(secu)^2-1] du
2∫ (secu)^3 du = secu.tanu +∫ secu du
∫ (secu)^3 du =(1/2)[ secu.tanu +ln|secu+tanu| ] +C'