如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD

2025-04-13 13:03:52

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回答1：

解：（1）如答图1，连接OG．
∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，
又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．
（2）AC∥EF，理由为：
连接GD，如答图2所示．
∵KG² =KD

GE，即

，
∴

，又∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C，
∴AC∥EF；
（3）连接OG，OC，如答图3所示．
sinE=sin∠ACH=

，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，
∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH² +HK² =AK² ，
即（3t）² +t² =（

）² ，
解得t=

．
设⊙O半径为r，
在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH² +CH² =OC² ，
即（r﹣3t）² +（4t）² =r² ，解得r=

．
∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，
在Rt△OGF中，OG=r=

，tan∠OFG=tan∠CAH=

，
∴FG=

．