解：设圆的方程为（x-a)^2+(y-b)^2=r^2
其中（a,b)为圆的圆心，r为圆的半径
因为 过点A（1，2）和B（1，10）
所以 ：（1-a)^2+(2-b)^2=r^2 ①
（1-a)^2+(10-b)^2=r^2 ②
又因为与直线x-2y-1=0相切
则圆心（a,b)到直线的距离等于半径r
即 |a-2b-1|/（根号5）=r ③
联立① ② ③方程得a=3,b=6, r=2根号5
所以所求圆的方程为：（x-3)^2+(y-6)^2=20
设方程为：（x-a)^2+(y-b)^2=r^2
因为过A（1，2）和B（1，10）
所以：（1-a)^2+(2-b)^2=r^2
（1-a)^2+(10-b)^2=r^2
又因为圆x-2y-1=0相切则圆心(a,b)到x-2y-1=0距离为r
所以|a-2b-1|/（根号5）=r
3个式子解三个未知数，得解！
设 圆心坐标为C:（a，b），则点C：（a,b) 到直线 x-2y-1=0 的距离d为：
d= |a-2b-1|/√（1^2+2^2)
从而, d=|CA|=|CB| ：
d^2= (a-2b-1)^2/5 = (a-1)^2+(b-2)^2=(a-1)^2+(b-10)^2
(b-2)^2=(b-10)^2 -> b=6
(a-13)^2=5(a-1)^2+80 -> a^2+4a-21=0 -> a=3 或 a=-7
故：圆方程有两个：
（x-3)^2+(y-6)^2=20
（x+7)^2+(y-6)^2=80
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