高等数学,条件收敛和绝对收敛有什么区别,怎么理解这两个收敛?

2025-03-15 23:26:20
推荐回答(5个)
回答1:

一、概念

对任意项级数

 收敛

,若

 也收敛我们称为绝对收敛

如果

 收敛而  不收敛,那么这个级数就是条件收敛的

二、含义

如果绝对收敛那么Un一定是递减的,

 是有界的。

绝对收敛和条件收敛的级数本身都是收敛的。

三、判断

第一步,对于任意数项级数,我们先判断其是否满足收敛的必要条件

既lim(n->∞)Un = 0

并判断级数是正级数。

第二步,如果级数确定为正级数

1.比较原则;

2.比式判别法,(适用于含  n! 的级数);

3.根式判别法,(适用于含 n次方 的级数);

(注:一般能用比式判别法的级数都能用根式判别法)

(这一段来自百度经验,他对级数收敛的判断很详细)

到这一步基本就能判定大多数常用级数了

一般正向级数收敛,那么他基本是绝对收敛的。

第三部、如果不是正级数,判断是否为交错级数

若不是正项级数,则接下来我们可以判断该级数是否为交错级数:

最后、

如果既不是交错级数,又非正级数,可以为级数加上绝对值

通过正级数的方法判断是否绝对收敛。

到这里就基本可以判断一个级数是否收敛或者绝对收敛了。

如果遇见无法判断的级数,去参考专业文档。

四、条件收敛举例

(-1)^n (1/n)

-1 , 1/2 ,-1/3.......

这个级数就是条件收敛的,他的绝对值求和是发散的

只能判断该级数收敛,却没办法确定他是收敛点。

回答2:

  1. 首先理解收敛:

    令∑un = S,如果lim(n->∞)S存在一个确定的值,则级数收敛

  2. 现在我们来考量绝对收敛:

    由绝对值的性质来考量,|un| >= un恒成立,且∑|un| >= ∑un,根据比较审敛法的观点来看,若∑|un|收敛,则原级数一定收敛。又由于正项级数通常都比较好判断收敛性,所以在考察级数收敛与否时通常都是先考察是否绝对收敛的。

  3. 关于条件收敛:

    既然有了绝对收敛,为何又有条件收敛呢?莱布利兹判断准则告诉我们,对于交错级数,只要满足lim(n->∞)un趋于0,且后一项小于前一项就可以证明级数收敛了。我们知道∑1/n是发散的,但∑(-1)^n.1/n却是收敛的,所以条件收敛相当于弥补了一些绝对收敛没有涉及的地方,绝对收敛相当于只把级数看成正项级数来考量了,相当于缩小了相应的范围,条件收敛正好弥补了绝对收敛没有考察到的地方,将范围扩大了一些。

回答3:

1、绝对收敛:是指各项加绝对值后的级数收敛。
2、条件收敛:是指各项加绝对值后的级数发散,原级数收敛的级数。
3、绝对收敛的级数,原级数一定收敛。
4、绝对收敛的级数、条件收敛的级数,原级数一定收敛。
5、绝对收敛的级数,一定不会条件收敛。但原级数一定收敛。
6、条件收敛的级数,一定不会绝对收敛。但原级数一定收敛。
7、绝对收敛的级数、条件收敛的级数,是两种不同的收敛级数。

回答4:

通俗说,条件收敛就是加上绝对值发散了,不加就收敛。
绝对收敛则是加上绝对值收敛,不加绝对值之前情况不考虑。
关键就是看加不加绝对值了,举个简单的例子,∑(-1)^n-1*(1/n)。这个就是条件收敛,加上绝对值就是去除正负号的作用。绝对收敛例子太多了。

回答5:

绝对收敛与条件收敛、
如果级数Σun收敛,而Σ∣un∣发散,则称级数Σun条件收敛。
把一个级数的毎一项取绝对值后变成了一个正项级数 这个正项级数可能收敛 可能发散 当收敛时就称原来那个级数绝对收敛
这是一个新概念 和原来的收敛有什么关系呢?有定理可证:绝对收敛必自身收敛。即
如果 级数Σun 与 Σ∣un∣ 都收敛。则称级数Σun 绝对收敛。
例如,我们知道:
当un=1/n时发散的,但un=(-1)^n/n确是收敛的。
有一个引理:
如果级数Σ∣un∣收敛,则Σun收敛必定收敛
如果级数Σun发散,则也Σ∣un∣发散

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