证明1+1⼀2+1⼀3+...+1⼀n-lnn极限存在 跪求

证明：

(1+1/n)^n

则取对数有nln(1+1/n)<1<(n+1)ln(1+1/n)，1/(n+1)

令an=(1+1/n)^n

a(n+1)-an=1/(n+1)-ln(n+1)+lnn=1/(n+1)-ln((n+1)/n=1/(n+1)-ln(1+1/n)<0

故an是单调递减数列

又an=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn

>ln(1+1/1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+……+ln(1+1/n)-lnn

=ln2+ln3/2+ln4/3+……+ln[(n+1)/n]-lnn

=ln(2*3/2*4/3*……*(n+1)/n)-lnn

=ln(n+1)-lnn>0

综上所述：数列{an}是单调递减，且有下界的数列，由单调有界定理知，数列{an}的极限存在。

扩展资料：

单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。

一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。

记an=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn，由于1＞ln2，1/2＞ln（3/2），1/3＞ln（4/3），……，1/n＞ln（（n+1）/n），所以1+1/2+1/3+...+1/n-lnn＞ln2+ln（3/2）+ln（4/3）+……+ln（（n+1）/n）-lnn=lnn-lnn=0，所以数列{an}有下界。a（n+1）-an=1+1/2+1/3+...+1/n+1/（n+1）-ln（n+1）-（1+1/2+1/3+...+1/n-lnn）=1/（n+1）-ln（n+1）+lnn=1/（n+1）-ln（（n+1）/n）＜0，所以数列{an}单调递减，由单调有界定理，数列{an}收敛，事实上，它的极限就是欧拉常数。

(1+1/n)^nnln(1+1/n)<1<(n+1)ln(1+1/n),1/(n+1)令an=(1+1/n)^na(n+1)-an=1/(n+1)-ln(n+1)+lnn=1/(n+1)-ln((n+1)/n=1/(n+1)-ln(1+1/n)<0,
故an是单调递减数列
又an=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
>ln(1+1/1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+……+ln(1+1/n)-lnn
=ln2+ln3/2+ln4/3+……+ln[(n+1)/n]-lnn
=ln(2*3/2*4/3*……*(n+1)/n)-lnn
=ln(n+1)-lnn
>0
综上，数列{an}是单调递减，且有下界的数列，由单调有界定理知，数列{an}的极限存在，在数学上该极限被称为欧拉常数。

(1+1/n)^nnln(1+1/n)<1<(n+1)ln(1+1/n),1/(n+1)令an=(1+1/n)^na(n+1)-an=1/(n+1)-ln(n+1)+lnn=1/(n+1)-ln((n+1)/n=1/(n+1)-ln(1+1/n)<0,
故an是单调递减数列
又an=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
>ln(1+1/1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+……+ln(1+1/n)-lnn
=ln2+ln3/2+ln4/3+……+ln[(n+1)/n]-lnn
=ln(2*3/2*4/3*……*(n+1)/n)-lnn
=ln(n+1)-lnn
>0
综上，数列{an}是单调递减，且有下界的数列，由单调有界定理知，数列{an}的极限存在，在数学上该极限被称为欧拉常数，0.55左右。

简单计算一下即可，答案如图所示