脉冲响应不变法的概念详解

如以Ha(s)及H（z）分别表示ha(t)的拉氏变换及h(n)的z变换，即
Ha(s)=L[ha(t)]
H(z)=Z[h(n)]
则根据采样序列z变换与模拟信号拉氏变换的关系，得:
上式表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的S平面到Z平面的变换，正是以前讨论的拉氏变换到Z变换的标准变换关系，即首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过z=e的映射关系映射到Z平面上。
z=e的映射关系表明，S平面上每一条宽为2π/T的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个全部平面上。每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内，每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外，jΩ轴映射在单位圆上，但jΩ轴上的每一段2π/T都对应于绕单位圆一周，如下图所示：
图 脉冲响应不变法的映射关系
应当指出，Z=e的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓与H（z）的关系，而不是Ha(s)本身与H（z）的关系，因此，使用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到H(z)并没有一个由S平面到Z平面的简单代数映射关系，即没有一个s=f(z)的代数关系式。另外，数字滤波器的频响也不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓，周期为ΩS=2π/T=2πfs，即
正如第一章采样定理中所讨论的，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率ΩS/2以内，即
Ha(jΩ)=0 |Ω|≥π/T
这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响（在折叠频率以内）
|ω|<π
但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即混淆，这时，数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。
脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达的传递函数，模拟滤波器的传递函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数N>M，则可表达为部分分式形式：
其拉氏反变换为：
其中u(t)为单位阶跃函数。对ha(t)采样就得到数字滤波器的单位脉冲响应序列
再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：
第二个求和为等比级数之和， ，要收敛的话，必有 ，所以有
比较部分分式形式的Ha(s)和上式H(z)可以看到，S平面上的极点s=si,变换到Z平面上是极点 ,而Ha(s)与H(z)中部分分式所对应的系数不变。如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点si都在S左半平面，即Re[si]<0,那么变换后H(z)的极点 也都在单位圆以内，即| |= <1，因此数字滤波器保持稳定。
值得注意的是，这种Ha(s)到H(z)的对应变换关系，只有将Ha(s)表达为部分分式形式才成立。
虽然脉冲响应不变法能保证S平面与Z平面的极点位置有一一对应的代数关系，但这并不是说整个S平面与Z平面就存在这种一一对应的关系，特别是数字滤波器的零点位置与S平面上的零点就没有一一对应关系，而是随着Ha(s)的极点si与系数Ai的不同而不同。
H(e) 是Ha(jΩ)的周期延拓（周期为fs），因Ha(jΩ)并不是带限，即在超过fs频率部分并不为0，所以就产生了混迭。当为低通或带通滤波器时，fs越大，则Ha(jΩ)的下一周期相隔越远，混迭也就越小。当为带阻或高通滤波器时，Ha(jΩ)在超过fs/2频率部分全为通带，这样就不满足抽样定理，发生了完全的混迭，所以脉冲响应不变法不能设计带阻或高通滤波器。