设sinx⼀x为f(x)的一个原函数,求⼀xf✀(2x)dx

∫xf'(2x)dx=1/2∫xdf(2x)=1/2xf(2x)-1/2∫f(2x)dx=x/2*f(2x)-1/4∫f(x)dx=x/2*f(2x)-sinx/4x

f(x)=(sinx/x)'=(xcosx-sinx)/x^2

f(2x)=(2xcos2x-sin2x)/4x^2

∫xf'(2x)dx=x/2*f(2x)-sinx/4x=(2xcos2x-sin2x)/8x-sinx/4x

已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。

扩展资料：

在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。

设f(x)在[a,b]上连续，则由 曲线y=f(x)，x轴及直线x=a，x=b围成的曲边梯形的面积函数(指代数和——x轴上方取正号，下方取负号)是f(x)的一个原函数。若x为时间变量，f(x)为直线运动的物体的速度函数，则f(x)的原函数就是路程函数。

给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。

参考资料来源：百度百科——原函数

∫xf'(2x)dx=1/2∫xdf(2x)=1/2xf(2x)-1/2∫f(2x)dx=x/2*f(2x)-1/4∫f(x)dx=x/2*f(2x)-sinx/4x
f(x)=(sinx/x)'=(xcosx-sinx)/x^2
f(2x)=(2xcos2x-sin2x)/4x^2
∫xf'(2x)dx=x/2*f(2x)-sinx/4x=(2xcos2x-sin2x)/8x-sinx/4x