如何证明0.9循环不等于1

实数公理：每个实数的值（大小）是唯一的。

实数定义：在x数轴上[0，R]就是实数R。

即每个实数有上下界（前后界）0点和R点两点组成的“线段”0─R，也叫整体。

整体的定义：有上下界{a0，a1，a2，...an}，即a1和an。

整体与整数是两个不同的概想。

整数∈整体

1是整体，1/2是整体，0.3是整体，0.5...7是整体，√2是整体，π是整体，

0.333...不是整体，1.414...不是整体，3.14159...不是整体，

得：1是整体，0.999999...不是整体。1是实数，0.999999...不实数。

故 ：1≠0.999999...

详见 ：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6aa947af0102wx30.html

“0.9循环=9分之9=1”
实则：0.9循环=10÷9
9分之9=9÷9
因为：10÷9≠9÷9
所以：0.9循环≠1

我们先设无限大与1的和为t。
可得：t＝无限大＋1，无限小×t＝1。
可知：
无限小＝t分之一
因为t＝无限大＋1
所以无限小与无限大加1的和互为倒数
即无限小×（无限大＋1）＝1
根据乘法分配律，可得：
无限小×无限大＋无限小＝1
先假设无限小＝0，
可知：0×无限大＋0＝1，
即0＋0＝1，
但0＋0=0≠1为基本事实，
不符合逻辑，
所以无限小≠0。
我们再假设无限小×无限大＝1，
可知：1＋无限小＝1，
等式两边都减1，得：
无限小＝0，
由上述，可知无限小≠0，
两人者相互矛盾，
即无限小＝0不符合逻辑，
所以无限小×无限大≠1，
又因为无限大＝99999……
无限小＝0.00000……1≠0，
所以无限大×无限小＝0.99999……
所以0.99999……≠1（等量代换）
故0.99999……≠1.

1是确定值，0.9循环是趋势值，故二者永不相等！

0.999999...无限循环是等于1的。