三角形的重心、垂心、外心、内心的定义及性质分别是什么？

一、三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

三角形垂心的性质

设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。　

1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的 垂心在三角形外。

2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。　

4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH•HD=BH•HE=CH•HF。　

5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。　

6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。　

7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP•tanB+AC/AQ•tanC=tanA+tanB+tanC。　

8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。　

9、 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。　

10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。　

11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。　

12、西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。　

13、 设锐角△ABC内有一点T，那么T是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

二、三角形的重心

重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。

重心的几条性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3。

5、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

三、内心 

内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。   

三角形内心的性质　

设⊿ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。

1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。

2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。

3、r=S/p。

4、∠BOC=90°+A/2。

5、点O是平面ABC上任意一点，点O是⊿ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。

6、点O是平面ABC上任意一点，点I是⊿ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。

7、⊿ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么⊿ABC内心I的坐标是(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)。

8、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr。

四、三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．

三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上.

三角形外心的性质

设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．

1、（1）锐角三角形的外心在三角形内；

（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；

（3）钝角三角形的外心在三角形外。

2、∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A). 

3、点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：

(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0。

扩展资料

其它规则图形的重心：

注：下面的几何体都是均匀的，线段指细棒，平面图形指薄板。

三角形的重心就是三边中线的交点。 线段的重心就是线段的中点。

平行四边形的重心就是其两条对角线的交点，也是两对对边中点连线的交点。

平行六面体的重心就是其四条对角线的交点，也是六对对棱中点连线的交点，也是四对对面重心连线的交点。

圆的重心就是圆心，球的重心就是球心。

锥体的重心是顶点与底面重心连线的四等分点上最接近底面的一个。

四面体的重心同时也是每个定点与对面重心连线的交点，也是每条棱与对棱中点确定平面的交点。

参考资料来源：百度百科-三角形重心

参考资料来源：百度百科-三角形垂心

参考资料来源：百度百科-三角形内心

参考资料来源：百度百科-三角形外心

一、三角形的外心，定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

性质：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。

二、三角形的内心，定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

性质：三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。

三、三角形的垂心，定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

性质：锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。

四、三角形的重心，定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。

性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

等腰三角形；等腰三角形（isosceles triangle），指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。等腰三角形是轴对称图形。

重心就是受力重心，垂心是过定点垂线中心，内心是内切圆圆心，外心是外接圆圆心。

6jjjj，…55555555555555555555555555555555