关于圆的所有定理,请列出:

证明
2024-11-22 22:39:43
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回答1:

1 圆心角定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

2 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所
推论3: 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

3 垂径定理:垂直弦的直径平分该弦,并且平分这条弦所对的两条弧。
推论1: ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
推论2 :圆的两条平行弦所夹的弧相等

4 切线之判定定理:经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。

5 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,他们的切线长相等,这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。

6 公切线长定理:如果两圆有两条外公切线或两条内公切线,那么这两条外公切线长相等,两条内公切线长也相等。如果他们相交,那么交点一定在两圆的连心线上。

7 相交弦定理:圆内两条弦相交,被交点分成的两条线段长的乘积相等。

8 切割线定理:从圆外一点向圆引一条切线和一条割线,则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。

9 割线长定理:从圆外一点向圆引两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
10定理: 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它
的内对角。
11 (d是圆心到直线的距离,r是半径)
①直线L和⊙O相交 d<r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d>r
12切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
推论1 :经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
13圆的外切四边形的两组对边的和相等
14弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
推论:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
15 (d是圆心距,R、r是半径)
①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r<d<R+r(R>r)
④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含d<R-r(R>r)
16定理: 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
17定理: 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
18定理: 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
19正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
20定理: 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
21正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长
22正三角形面积√3a/4 a表示边长
23如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为
360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
24弧长计算公式:L=n兀R/180
25扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2
26内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

回答2:

垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等
同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半
同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧
半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径
三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
弦切角等于所夹弧所对的圆周角
推论:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等。
圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
切线的性质与判定定理
(1)判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线
两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
即:∵mn⊥oa且mn过半径oa外端
∴mn是⊙o的切线
(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点
推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心
以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
圆内相交弦定理及其推论:
(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等
即:在⊙o中,∵弦ab、cd相交于点p
∴pa·pb=pc·pa
(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
圆公共弦定理:连心线垂直平分公共弦

回答3:

圆的解析几何方程
  圆的标准方程:在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。   圆的一般方程:把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F>0)。其中和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2-r^2。该圆圆心坐标为(-D/2,-E/2),半径r=0.5√D^2+E^2-4F。   圆的参数方程:以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数)   圆的端点式:若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2),则以线段AB为直径的圆的方程为 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0   圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r。   经过圆 x^2+y^2=r^2上一点M(a0,b0)的切线方程为 a0*x+b0*y=r^2   在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0,b0)引该圆的两条切线,且两切点为A,B,则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r^2
圆与直线的位置关系判断
  平面内,直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是:   1.由Ax+By+C=0,可得y=(-C-Ax)/B,(其中B不等于0),代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下:   如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交。   如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切。   如果b^2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离。   2.如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A,它平行于y轴(或垂直于x轴),将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。令y=b,求出此时的两个x值x1、x2,并且规定x1x2时,直线与圆相离;   当x1 (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F   => 圆心坐标为(-D/2,-E/2)   其实只要保证X方Y方前系数都是1   就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)   这可以作为一个结论运用的   且r=根号(圆心坐标的平方和-F)
编辑本段圆知识点总结
  定义:(1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。   (2)平面上一条线段,绕它的一端旋转360°,留下的轨迹叫圆。   圆心:(1)如定义(1)中,该定点为圆心   (2)如定义(2)中,绕的那一端的端点为圆心。   (3)圆任意两条对称轴的交点为圆心。   (4) 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。   注:圆心一般用字母O表示   直径:通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。   半径:连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。   圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形,每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中:直径是半径的2倍,半径是直径的二分之一.d=2r或r=d/2。   圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。   圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,用字母C表示。   圆的周长与直径的比值叫做圆周率。   圆的周长除以直径的商是一个固定的数,把它叫做圆周率,它是一个无限不循环小数(无理数),用字母π表示。计算时,通常取它的近似值,π≈3.14。   直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。   圆的面积公式:圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr²,用字母S表示。   一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。   在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。   在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。   周长计算公式   1.、已知直径:C=πd   2、已知半径:C=2πr   3、已知周长:D=c/π   4、圆周长的一半:1/2周长(曲线)   5、半圆的周长:1/2周长+直径(π÷2+1)
圆心角定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所
推论3: 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

垂径定理:垂直弦的直径平分该弦,并且平分这条弦所对的两条弧。
推论1: ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
推论2 :圆的两条平行弦所夹的弧相等
切线之判定定理:经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,他们的切线长相等,这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
公切线长定理:如果两圆有两条外公切线或两条内公切线,那么这两条外公切线长相等,两条内公切线长也相等。如果他们相交,那么交点一定在两圆的连心线上。
相交弦定理:圆内两条弦相交,被交点分成的两条线段长的乘积相等。
切割线定理:从圆外一点向圆引一条切线和一条割线,则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。

割线长定理:从圆外一点向圆引两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
定理: 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它
的内对角。
(d是圆心到直线的距离,r是半径)
①直线L和⊙O相交 d<r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d>r
切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
推论1 :经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
圆的外切四边形的两组对边的和相等
弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
推论:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
(d是圆心距,R、r是半径)
①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r<d<R+r(R>r)
④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含d<R-r(R>r)
定理: 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
定理: 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
定理: 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
定理: 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长
正三角形面积√3a/4 a表示边长
如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为
360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
弧长计算公式:L=n兀R/180
扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2
内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
托勒密定理

回答4:

定义:(1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。   
(2)平面上一条线段,绕它的一端旋转360°,留下的轨迹叫圆。   
圆心:(1)如定义(1)中,该定点为圆心   
(2)如定义(2)中,绕的那一端的端点为圆心。   
(3)圆任意两条对称轴的交点为圆心。   
(4) 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。   
注:圆心一般用字母O表示   
直径:通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。   
半径:连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。   
圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形,每条直径所在的直线是圆的对称轴。
在同圆或等圆中:直径是半径的2倍,半径是直径的二分之一.d=2r或r=d/2。   
圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。   
圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,用字母C表示。   
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。   
圆的周长除以直径的商是一个固定的数,把它叫做圆周率,它是一个无限不循环小数(无理数),用字母π表示。计算时,通常取它的近似值,π≈3.14。   
直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。   
圆的面积公式:圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr²,用字母S表示。   
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。   
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。   
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。   
周长计算公式   
1.、已知直径:C=πd   
2、已知半径:C=2πr   
3、已知周长:D=c/π   
4、圆周长的一半:1/2周长(曲线)   
5、半圆的周长:1/2周长+直径(π÷2+1)   
面积计算公式:   
1、已知半径:S=πr²   
2、已知直径:S=π(d/2)²;   
3、已知周长:S=π(c/2π)²;   
圆的种类:   
(1)整体圆形,(2)弧形圆,(3)扁圆,(4)椭形圆,(5)缠丝圆,(6)螺旋圆,(7)圆中圆、圆外圆,(8)重圆,(9)横圆,(10)竖圆,(11)斜圆。

另:
1
圆的面积与周长计算公式
2
圆心角定理
3
圆周角定理
4
圆幂定理

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PS:这些是在百度百科里摘录的部分
完整请自己去百度百科输入“圆”即可查找
(网页尾有个拓展阅读 是一些公式和圆的相关 可以点开阅读)