讨论x-级数:
1+1/2^x+1/3^x+...+1/n^x+....
的敛散性,其中x为任意实数.
解: 当x<=0时级数显然是发散的.以下设x>0.
当x>1时,将x-级数按一项,两项,四项,八项,....括在一起,得到:级数(1)
1+(1/2^x+1/3^x)+(1/4^x+1/5^x+1/6^x+1/7^x)+(1/8^x+.....+1/15^x)+....
它的各项不大于级数(2)
1+(1/2^x+1/2^x)+(1/4^x+1/4^x+1/4^x+1/4^x)+(1/8^x+1/8^x+.....1/8^x)+...
=1+1/2^(x-1)+(1/2^(x-1))^2+(1/2^(x-1))^3+.....
的对应项,而后一个级数是公比q=1/2^(x-1)<1的等比级数,因此是收敛的.由
定理(比较审敛法),加括号后的级数(2)收敛,即级数(2)的部分和有界,于是级数(1)的部分和也有界,故级数(1)收敛.
综上,对于x-级数∑(∞,n=1)1/n^x,当x<=1发散,当x>1时收敛.
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