高数微分方程问题

如图所示，

易得，三角形ADE与三角形ABC相似。

且曲线的切线线段被切点平分，得AE=CE。

所以，AD:AB=AE:AC=1:2；

所以，AD=BD=y；

所以，在y轴的截距为2y。

同理，在x轴的截距为2x。

P(x)=1/x，Q(x)=e^x/x∫P(x)dx=lnxy=(1/x)[∫(e^x/x) * x dx +C]=(1/x) [∫e^x dx +C]=(e^x +C)/xlim x→0 (e^x +C)/x因为分母→0，极限存在，则分子也→0即e^0+C=0C=-1所以y=(e^x -1)/x即F(x)=(e^x -1)/xf(x)=F'(x)=(xe^x - e^x +1)/x²=e^x/x - e^x/x² +1/x²因为1/x=-1/[1-(x+1)]=-∑(n=0,∞) (x+1)^n1/x²=(-1/x)'=∑(n=0,∞) n(x+1)^(n-1)e^x=∑(n=0,∞) x^n/n!所以f(x)=∑(n=0,∞) x^(n-1)/n! - ∑(n=0,∞) x^(n-2)/n! +∑(n=0,∞) n(x+1)^(n-1)n/(n+1)! =(n+1-1)(n+1)!=(n+1)/(n+1)!-1/(n+1)!=1/n!-1/(n+1)!然后求和的过程中最后得出的结论∑（n=1,∞）n/(n+1)!=1/1 -1/2! + 1/2! - 1/3!+……=1-1/（n+1）!=1