设L是一条平面曲线，其上任一点P（x,y）(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处切线在y轴上的截距，

解：设曲线L的方程为y=y(x),x>0

则其上任一点P（x,y）处切线方程为：

Y-y=y'*(X-x)，令裤做坦X=0，得y轴上的胡桐截距为b=y-xy'

于是有：

√(x^2+y^2)=y-xy'

两边平方得

x^2+y^2=y^2-2xyy'+x^2*y'^2

y'^2-2*y/x*y'-1=0

解得y'=y/x+√[(y/x)^2+1]或y'=y/x-√[(y/x)^2+1]

考虑到x>0，且y-xy'≥0，故y'≤y/x，故只能取

y'=y/x-√[(y/x)^2+1]

令y/x=z，则y=xz，y'=z+xz'，故

z+xz'=z-√(z^2+1)

得z'/√(z^2+1)=-1/x

两边分别积分，得

√(z^2+1)=-ln|x|+C

得z^2=(C-ln|x|)^2-1

y=xz=x√[(C-ln|x|)^2-1]或y=-x√[(C-ln|x|)^2-1]

平滑曲线

光滑平面曲线实际上是欧几里德平面R2中的曲线，是一维平滑的流线形曲线。 这意味着平滑曲线是“局部看起来像线”的平面曲线，在每个点附近，胡戚它可以通过平滑函数映射到一条线上。相同的，可以通过方程f（x，y）= 0给出平滑平面曲线，其中f：R2→R是平滑函数，偏导数f/x和f/y在曲线的同一点都不会同时为0。

解：设曲线L的方程为y=y(x),x>0
则其上任一点P（x,y）处切线方程为：
Y-y=y'*(X-x)，令X=0，得y轴上的截距为b=y-xy'
于是有：
√(x^2+y^2)=y-xy'
两边平方得
x^2+y^2=y^2-2xyy'+x^2*y'^2
y'^2-2*y/x*y'-1=0
解得y'=y/x+√[(y/x)^2+1]或y'=y/x-√[(y/x)^2+1]
考虑到x>0，且y-xy'≥0，故y'伍槐≤扒悉y/x，故只能取
y'=y/x-√[(y/x)^2+1]
令y/x=z，则y=xz，y'=z+xz'，故
z+xz'=z-√(z^2+1)
得z'/√(z^2+1)=-1/x
两边分别积腔此友分，得
√(z^2+1)=-ln|x|+C
得z^2=(C-ln|x|)^2-1
y=xz=x√[(C-ln|x|)^2-1]或y=-x√[(C-ln|x|)^2-1]
考虑恒过点A(0.5,0)，则过该点时切线在y轴上的截距为0.5，也即当x=0.5时，必有y'=-1<0，故：
当x≥1/2时，只能取y=-x√[(C-lnx)^2-1]；
当0将x=0.5,y=0代入，解得C=±1-ln2
代入C即得曲线L的方程，为两条，且每条均为分段函数。