已知函数f（x）=x2-ax，g（x）=lnx．（1）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范

（1）由题意：f（x）≥g（x）?x²-ax≥lnx，（x＞0）
分离参数α可得：a≤x?

lnx

x

，（x＞0）…（1分）
设Φ(x)＝x?

lnx

x

，则Φ′(x)＝1+

lnx?1

x2

=

x2+lnx?1

x2

…（2分）
由于函数y=x²，y=lnx在区间（0，+∞）上都是增函数，所以
函数y=x²+lnx-1在区间（0，+∞）上也是增函数，显然x=1时，该函数值为0
所以当x∈（0，1）时，Φ^′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，Φ^′（x）＞0
所以函数Φ（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数
所以Φ（x）_min=Φ（1）=1，所以a≤Φ（x）_min=1即a∈（-∞，1）…（4分）
（2）由题意知道：h（x）=x²-ax+lnx．则h′(x)＝2x?a+

1

x

＝

2x2?ax+1

x

，(x＞0)
所以方程2x²-ax+1=0，（x＞0）有两个不相等的实数根x₁，x₂，且x1∈(0，

1

2

)，
又因为x1x2＝

1

2

，所以x2＝

1

2x1

∈(1，+∞)，且axi＝2xi2+1，(i＝1，2)…（6分）
而h（x₁）-h（x₂）=(x12?ax1+lnx1)?(x22?ax2+lnx2)
=[x12?(2x12+1)+lnx1]?[x22?(2x22+1)+lnx2]
=x22?x12+ln

x1

x2

=x22?(

1

2x2

)2+ln

1 2x2

x2

═x22?

1

4x22

?ln2x22，（x₂＞1）
设μ(x)＝x2?

1

4x2

?ln2x2，(x≥1)，则μ′(x)＝

(2x2?1)2

2x3

≥0
所以μ(x)＞μ(1)＝

3

4

?ln2，即h(x1)?h(x2)＞

3

4

?ln2…（8分）
（3）r(x)＝f(x)+g(

1+ax

2

)＝x2?ax+ln

1+ax

2

所以r′(x)＝2x?a+

a

ax+1

＝

2ax2?a2x+2x

ax+1

=

2ax(x? a2?2 2a )

ax+1

…（9分）
因为a∈（1，2），所以

a2?2

2a

＝

a

2

?

1

a

≤

2

2

?

1

2

＝

1

2

所以当x ∈(

1

2

，+∞)时，r（x）是增函数，所以当x0∈[

1

2

，1]时，
r(x0)max＝r(1)＝1?a+ln

a+1

2

，a∈（1，2）…（10分）
所以，要满足题意就需要满足下面的条件：1?a+ln

a+1

2

＞k(1?a2)，
若令φ(a)＝1?a+ln

a+1

2

?k(1?a2)，a∈（1，2），
即对任意a∈（1，2），φ(a)＝1?a+ln

a+1

2

?k(1?a2)＞0恒成立
因为φ^′（a）=?1+

1

a+1

+2ka=

2ka

a+1

(a?

1

2k

+1)…（11分）
分类讨论如下：
①若k=0，则φ′(a)＝

?a

a+1

，所以φ（a）在（1，2）递减，
此时φ（a）＜φ（1）=0不符合题意
②若k＜0，则φ′(a)＝

2ka

a+1

(a?

1

2k

+1)，所以φ（a）在区间（1，2）递减，
此时φ（a）＜φ（1）=0不符合题意．
③若k＞0，则φ′(a)＝

2ka

a+1

(a?

1

2k

+1)，那么当

1

2k

?1＞1时，假设t为2与

1

2k

?1中较小的一个数，即t={2，

1

2k

?1}，
则φ（a）在区间（1，min{2，