用数学归纳法证明一个问题

请用数学归纳法证明：ln(k+1)<1+1/2+1/3+…+1/k。谢谢。

2025-04-13 07:54:40

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回答1：

先证明f(x)=ln(1+x) -x (x≥0) 是减函数。
f'(x)=1/(1+x) -1 = -x/(1+x)≤0，从而 f(x)＝ln(1+x) -x (x≥0) 是减函数。
所以当x>0时，有f(x)下面用数学归纳法。
(1)k=1时，ln2(2)假设k=m时，不等式成立，即
ln(m+1)<1+1/2+1/3+…+1/m
那么 ln(m+2)-[1+1/2+1/3+…+1/m+1/(m+1)]
=ln(m+2)-ln(m+1) -1/(m+1)
=ln[(m+2)/(m+1)] -1/(m+1)
=ln(1+1/(m+1)] -1/(m+1)
=f[1/(m+1)] 即 ln(m+2)<[1+1/2+1/3+…+1/m+1/(m+1)]
所以 k=m+1时不等式也成立。
由（1）（2），不等式成立。