为什么级数1⼀n是发散的？

中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。

他的方法很简单：

1+1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...

1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...

注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值

和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发

散的。

解：“级数∑1/n，n=1,2，……，∞”是发散的。其证明过程可以是，
∵∑1/n=1+1/2+1/3+1/4+……=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+……+1/8)+(1/9+……+1/16)+(1/17+……+1/32)+……>1+1/2+2(1/4)+4(1/8)+8(1/16)+16(1/32)……=1+m/2+……，
当n→∞时，m→∞，1+m/2→∞发散。∴级数∑1/n发散。
供参考。

简单计算一下即可，答案如图所示

看部分和吧！
S(2^n)=1+1/2+(1/3+1/4)
+(1/5+1/6+1/7+1/8)
+……
+{1/[2^(n-1)+1]+1/[2^(n-1)+2]+……+1/2^n}
≥1+1/2+1/2+……+1/2
=1+n/2
∴limS(2^n)=+∞
∴∑1/n发散。

还有很多方法证明的。

书上有证明，用的反证法