82问答网 > 已知函数f(x)=x^2-ax, g(x)=lnx,若f(x)≥g(x)对于定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围。

已知函数f(x)=x^2-ax, g(x)=lnx,若f(x)≥g(x)对于定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围。

求详细解答过程~~~

2024-12-04 18:08:09

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回答1：

解：f(x)≥g(x)即x^2-ax>=lnx,也即(x^2-lnx)/x>=a 对于定义域内的x恒成立 (x>0) (变量分离）
从而转化为求(x^2-lnx)/x的最小值即可。
设h(x)=(x^2-lnx)/x （x>0)
则h'(x)=(x^2+lnx-1)/x^2
再令s(x)=x^2+lnx-1
则s'(x)=2x+1/x>0
故s(x)为增函数，而s(1)=0
则当x=1时，s(x)=0 ,则h'(x)=0
当x>1时，s(x)>s(1)=0,则h'(x)>0 为增
当0故x=1是h(x)的极小值点，也是最小值点，故h(x)最小值为h(1)=1
综上所述知a<=1

回答2：

a≤1
f(x)=x(x-a),与x轴交点为0和a，
g(x)=Inx,与x轴交点为1,
当f(x)的交点a在1的左边时，f(x)≥g(x)