偏导数存在且连续，可微，函数连续，偏导数存在，这四个有什么关系？

二元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系:

书上定义：

可微一定可导，可导一定连续。可导不一定可微，连续不一定可导。

1、若二元函数f在其定义域内某点可微，则二元函数f在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。

2、若二元函数函数f在其定义域内的某点可微,则二元函数f在该点连续，反过来则不一定成立。

3、二元函数f在其定义域内某点是否连续与偏导数是否存在无关。

4、可微的充要条件：函数的偏导数在某点的某邻域内存在且连续，则二元函数f在该点可微。

扩展资料：

判断可导、可微、连续的注意事项：

1、在一元的情况下，可导=可微->连续，可导一定连续，反之不一定。

2、二元就不满足以上的结论，在二元的情况下：

（1）偏导数存在且连续，函数可微，函数连续。

（2）偏导数不存在，函数不可微，函数不一定连续。

（3）函数可微，偏导数存在，函数连续。

（4）函数不可微，偏导数不一定存在，函数不一定连续。

（5）函数连续，偏导数不一定存在,函数不一定可微。

（6）函数不连续，偏导数不一定存在,函数不可微。

参考资料来源:百度百科-可微

参考资料来源：百度百科-偏导数

参考资料来源：百度百科-连续（数学名词）

偏导数存在且连续（这个连续指的是求完偏导的函数）=>可微，反之推不出；

可微=>偏导数存在，反之推不出；

可微=>连续（这个连续指的是没求偏导的函数），反之推不出；

可微=>方向导数存在，反之推不出；

偏导数存在，连续，方向导数存在之间互相谁也推不出谁。

可导与偏导：

当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。

偏导数存在且连续是可微的充分条件
可微必连续，可微必偏导数存在，反之不成立。
连续和偏导数存在是无关条件
偏导数存在且连续是连续的充分条件
偏导数存在且连续是偏导数存在的充分条件。

可微必定连续且偏导数存在
连续未必偏导数存在，偏导数存在也未必连续
连续未必可微，偏导数存在也未必可微
偏导数连续是可微的充分不必要条件