怎么证明:0.999的循环等于1?

解题过程如下：

设存在一数P，使得0.999无限循环

显然，这样的P不存在

即对于任意的P属于实数域上，都不能找出P使得0.999无限循环

即0.999无限循环与1之间并不存在数

所以，0.999无限循环=1

性质：

两个整数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数；另一种，得到无限小数。

从小数点后某一位开始依次不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如2.1666...*（混循环小数），35.232323...（循环小数），20.333333…（循环小数）等，其中依次循环不断重复出现的数字叫循环节。

循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。

所有无限循环小数都是除以9得出的结论，即0.1......的循环是1除以9；0.2.....的循环是2除以9；0.3.....的循环是3除以9；0.4.....的循环是4除以9；0.5......的循环是5除以9；0.6.....的循环是6除以9；0.7.....的循环是7除以9；0.8.....的循环是8除以9；那么0.9.....的循环就应是9除以9，因为9除以9得1所以《0.9......》循环是不存在的。《0.9.....》这个循环小数是在9除以9不被整除的情况下得出的结论，然而9除以9整除的话只能得1，所以0.9......这个循环根本就不存在。例如：《0.9......+0.0......“1”》=1其中0.9.....中的9是无限循环的0.0......“1”中的0也是无限循环的，所以0后面的1是永远不会出现的，即《0.9.....+0.0......“1”》=1这个等式不成立，由此就证明啦《0.9......循环》是不存在的。

用无穷递缩等比数列求各项和的方法证明。0.9循环看作0.9+0.09+0.009+……此数列首项a1=0.9 , 公比q=0.1 ,各项和s=a1/(1-q)=0.9/(1-0.1)=1

相信你经常会看到有人说循环小数0.999......等于1，这让你觉得不可思议，但又苦于证明过程比较高大上，你可能觉得自己理解的还不够透彻，所以我们今天就聊一聊如何用基础数学证明循环小数0.999......等于1，对你没看错，是基础数学，没有微积分，没有极限，没有任何高端的数学概念。顺便我们在讨论下无穷领域将给我们人类认知宇宙将带来什么困惑？让我们开始吧！

方法1，证明0.999...=1
可能你一直没有意识到，我们可以很容易地把任何循环小数写成分数。如果你有一个个位数的循环小数，把重复的那个数字写在分母9上，像下图这样:(如果你不放心的话，可以拿出计算机验证下）

如果你有一个2位数字的循环小数的话，请在分母99上写下循环的数字.

如果你有一个3位数字的循环小数，可以将循环数字写在分母999上.

如果是N 个循环数字，公式是：

结论
其实这个公式已经显示出0.999…等于1了。我们还是往下证明吧！从0.999…等于它的等效分数开始。

显然，9÷9 = 1。所以我们有：

证明完了，简短精悍，不过我能感觉到你的面前飘来很多问号，这简直违法直觉，怎么可能这么简单？那我们继续，不过接下来这个方法更简单！

方法2，证明0.999...=1
我们知道1/3等于0.33333…2/3等于0.66666…，所以1/3+2/3必须等于0.3333…+0.6666…，对吧？

两边相加，结果又来了：

数学迷们可能又有点失望了，因为这太简单了。因为我们感觉到越简单越没有说服力，大家喜欢哪种看起来超复杂，又高端的方法，如果你想再多看一会，那我们接下来用一个很好的无穷级数来说明为什么以上等式是成立的。前面说过我们今天不做那些复杂的数学运算，但是我害怕你们觉得被忽悠了。那么开始吧。

方法3，无限级数法
让我们从分解0.999...开始。

如果你回想一下你上小学的时候，你就会想起有一位和蔼可亲的老师向你解释怎样分解数字的位数，

所以我们可以以同样的方式写0.999…为：

或分数形式：

如果我们把前5个值相加，我们得到0.99999，如果我们不停地写出十进制展开式，我们可以把它写到无穷大，无穷长，无穷远，想绕地球几圈都可以！这样我们将得到精确的0.9999999999…。手工将小数展开到无穷大是不可行的，这就是为什么用简写的原因。

现令a＝0.999……，所以10a＝9.999……的循环，则有（10a－a）＝(9.999……－0.999……)，即9a＝9，所以a＝1。即证。

循环小数
一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数（circulating decimal）。循环小数会有循环节（循环点）。