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双曲线有哪些性质？

2025-03-25 06:27:58

推荐回答（5个）

回答1：

1、取值区域：

x≥a,x≤-a或者y≥a,y≤-a

2、对称性：

关于坐标轴和原点对称。

3、顶点：

A(-a,0) A’(a,0) AA’叫做双曲线的实轴，长2a；B(0,-b) B’(0,b) BB’叫做双曲线的虚轴，长2b。

4、渐近线：

横轴：y=±(b/a)x 竖轴：y=±(a/b)x

5、离心率：

e=c/a 取值范围：（1，+∞）

6、双曲线上的一点到定点的距离和到定直线(相应准线)的距离的比等于双曲线的离心率。

7、双曲线焦半径公式：

圆锥曲线上任意一点到焦点距离。过右焦点的半径r=|ex-a|；过左焦点的半径r=|ex+a|

8、等轴双曲线

双曲线的实轴与虚轴长相等，2a=2b e=√2

9、共轭双曲线

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 与 (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 叫共轭双曲线

（1）共渐近线

（2）e1+e2>=2√2

10、准线：

x=±a^2/c,或者y=±a^2/c

11、通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）：

2b^2/a

12、焦点弦长公式：

2pe/(1-e^2cos^2θ) [p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角] 或2p/sin^2θ

13、d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下：

由直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k

分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ]

稍加整理即得： |AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)

扩展资料：

一、光学性质：

从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用。

二、相关定义：

定义1：

平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。

定义2：

平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（（e>1），即为双曲线的离心率）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。双曲线准线的方程为（焦点在x轴上）或（焦点在y轴上）。

定义3：

一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。

定义4：

在平面直角坐标系中，二元二次方程F（x，y）=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。

参考资料：

百度百科－双曲线

回答2：

双曲线的性质：

1、轨迹上一点的取值范围：│x│≥a（焦点在x轴上）

2、对称性：关于坐标轴和原点对称

3、顶点：A(-a,0)， A'(a,0)

4、渐近线：y=±(b/a)x

5、离心率：e=c/a 且e∈(1，+∞)

6、准线：x=±a^2/c

扩展资料：

在平面直角坐标系中，二元二次方程F（x，y）=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。

1、a、b、c不都是零。

2、Δ=b2-4ac>0。

在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化，根据建好的前后位置判断图像关于x，y轴对称。

标准方程为：

1、焦点在X轴上时为：（a>0，b>0）

2、焦点在Y轴上时为：（a>0，b>0）

双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。

渐近线的方程求法是：将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解，例如：将1替换为0，得，则双曲线的渐近线为。

一般地我们把直线叫做双曲线（焦点在X轴上）的渐近线。

焦点在y轴上的双曲线的渐近线为。

参考资料来源：百度百科——双曲线

回答3：

双曲线的性质：

1、轨迹上一点的取值范围：│x│≥a（焦点在x轴上）

2、对称性：关于坐标轴和原点对称

3、顶点：A(-a,0)， A'(a,0)

4、渐近线：y=±(b/a)x

5、离心率：e=c/a 且e∈(1，+∞)

6、准线：x=±a^2/c

我们把平面内两个定点F1与F2的距离的差的绝对值等于一个常数(值为2a)的轨迹称为双曲线。　

定义1：平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点

定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线

定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。

定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。

标准方程：

1，焦点在X轴上时为：

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

2，焦点在Y 轴上时为：

y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1

回答4：

双曲线的几何性质有哪些

回答5：

您好！

1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）。
　　2、对称性：关于坐标轴和原点对称。
　　3、顶点：A(-a,0)， A＇(a,0)。同时 AA＇叫做双曲线的实轴且∣AA＇│=2a.
　　B(0,-b)， B＇(0,b)。同时 BB＇叫做双曲线的虚轴且│BB＇│=2b.
　　4、渐近线：
　　焦点在x轴：y=±(b/a)x.
　　焦点在y轴：y=±(a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角
　　令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos（1/e）
　　令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e
　　令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e
　　这两个x是双曲线定点的横坐标。
　　求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
　　x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
　　（注意化简一下）
　　直线ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
　　是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。
　　将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’
　　则θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】
　　则θ=θ’+【PI/2-arccos（1/e）】
　　带入上式：
　　ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
　　即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
　　现在可以用θ取代式中的θ’了
　　得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
　　5、离心率：
　　第一定义： e=c/a 且e∈（1，+∞).
　　第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e.
　　6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离）
　　右焦半径：r=│ex-a│
　　左焦半径：r=│ex+a│
　　7、等轴双曲线
　　一双曲线的实轴与虚轴长相等即：2a=2b 且 e=√2
　　8、共轭双曲线
　　双曲线S＇的实轴是双曲线S的虚轴且双曲线S＇的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S＇与双曲线S为共轭双曲线。
　　几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S＇：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1
　　特点：（1）共渐近线
　　（2）焦距相等
　　（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
　　9、准线：焦点在x轴上：x=±a^2/c
　　焦点在y轴上：y=±a^2/c
　　10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）
　　d=2b^2/a
　　11、过焦点的弦长公式：
　　d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角]
　　12、弦长公式

祝学业有成

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