关于数学中的In,越详细越好~~

2025-03-10 05:35:08

推荐回答（4个）

回答1：

定义：
　　若a^n=b(a>0且a≠1)
　　则n=log(a)(b)
基本性质：
　　1、a^(log(a)(b))=b
　　2、log(a)(a^b)=b
　　3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
　　4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
　　5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
　　6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)
　　推导
　　1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
　　2、因为a^b=a^b
　　令t=a^b
　　所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
　　3、MN=M×N
　　由基本性质1(换掉M和N)
　　a^[log(a)(MN)]
=
a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]
=(M)*(N)
　　由指数的性质
　　a^[log(a)(MN)]
=
a^{[log(a)(M)]
+
[log(a)(N)]}
　　两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定
　　又因为指数函数是单调函数，所以
　　log(a)(MN)
=
log(a)(M)
+
log(a)(N)
　　4、与（3）类似处理
　　MN=M÷N
　　由基本性质1(换掉M和N)
　　a^[log(a)(M÷N)]
=
a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
　　由指数的性质
　　a^[log(a)(M÷N)]
=
a^{[log(a)(M)]
-
[log(a)(N)]}
　　又因为指数函数是单调函数，所以
　　log(a)(M÷N)
=
log(a)(M)
-
log(a)(N)
　　5、与（3）类似处理
　　M^n=M^n
　　由基本性质1(换掉M)
　　a^[log(a)(M^n)]
=
{a^[log(a)(M)]}^n
　　由指数的性质
　　a^[log(a)(M^n)]
=
a^{[log(a)(M)]*n}
　　又因为指数函数是单调函数，所以
　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
　　基本性质4推广
　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
　　推导如下：
　　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]
　　log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
　　换底公式的推导：
　　设e^x=b^m,e^y=a^n
　　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
　　x=ln(b^m),y=ln(a^n)
　　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
　　由基本性质4可得
　　log(a^n)(b^m)
=
[m×ln(b)]÷[n×ln(a)]
=
(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
　　再由换底公式
　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]
--------------------------------------------（性质及推导
完）
[编辑本段]函数图象　　1.对数函数的图象都过(1,0)点.
　　2.对于y=log(a)(n)函数,
　　①,当0的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1.
　　②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的增大,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.
　　3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.
[编辑本段]其他性质　　性质一：换底公式
　　log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)
　　推导如下：
　　N
=
a^[log(a)(N)]
　　a
=
b^[log(b)(a)]
　　综合两式可得
　　N
=
{b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]
=
b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
　　又因为N=b^[log(b)(N)]
　　所以
b^[log(b)(N)]
=
b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
　　所以
log(b)(N)
=
[log(a)(N)]*[log(b)(a)]
{这步不明白或有疑问看上面的}
　　所以log(a)(N)=log(b)(N)
/
log(b)(a)
　　公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)
　　证明如下：
　　由换底公式
log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)
----取以b为底的对数
　　log(b)(b)=1
=1/log(b)(a)
还可变形得:
log(a)(b)×log(b)(a)=1
　　在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进伯制整数或小数的对数。例如lg10=1,lg100=lg102=2,lg4000=lg（103×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数，并将记号
loge。简写为ln，称为自然对数，因为自然对数函数的导数表达式特别简洁，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上，数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。

回答2：

　一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
　　底数则要大于0且不为1
　　
对数的运算性质：

　　当a>0且a≠1时,M>0,N>0，那么：
　　（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
　　（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
　　（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）
　　（4）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）
　　
对数与指数之间的关系

　　当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N
　　
对数函数的常用简略表达方式：

　　
　　（1）log(a)(b)=log(a)(b)
　　（2）常用对数:lg(b)=log(10)(b)
　　（3）自然对数:ln(b)=log(e)(b)
　　e=2.718281828...　通常情况下只取e=2.71828　对数函数的定义
　　对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），同样适用于对数函数。
　　右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
　　可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
[编辑本段]性质
　　定义域：（0，+∞）值域：实数集R
　　定点：函数图像恒过定点（1，0）。
　　单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸；
　　0　　奇偶性：非奇非偶函数
　　周期性：不是周期函数
　　零点：x=1

回答3：

定义：
　　若a^n=b(a>0且a≠1)
　　则n=log(a)(b)
基本性质：
　　1、a^(log(a)(b))=b
　　2、log(a)(a^b)=b
　　3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
　　4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
　　5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
　　6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)
　　推导
　　1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
　　2、因为a^b=a^b
　　令t=a^b
　　所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
　　3、MN=M×N
　　由基本性质1(换掉M和N)
　　a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)
　　由指数的性质
　　a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
　　两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定
　　又因为指数函数是单调函数，所以
　　log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
　　4、与（3）类似处理
　　MN=M÷N
　　由基本性质1(换掉M和N)
　　a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
　　由指数的性质
　　a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
　　又因为指数函数是单调函数，所以
　　log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)
　　5、与（3）类似处理
　　M^n=M^n
　　由基本性质1(换掉M)
　　a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
　　由指数的性质
　　a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
　　又因为指数函数是单调函数，所以
　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
　　基本性质4推广
　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
　　推导如下：
　　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]
　　log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
　　换底公式的推导：
　　设e^x=b^m,e^y=a^n
　　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
　　x=ln(b^m),y=ln(a^n)
　　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
　　由基本性质4可得
　　log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
　　再由换底公式
　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导完） [编辑本段]函数图象　　1.对数函数的图象都过(1,0)点.
　　2.对于y=log(a)(n)函数,
　　①,当0　　②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的增大,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.
　　3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称. [编辑本段]其他性质　　性质一：换底公式
　　log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)
　　推导如下：
　　N = a^[log(a)(N)]
　　a = b^[log(b)(a)]
　　综合两式可得
　　N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
　　又因为N=b^[log(b)(N)]
　　所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
　　所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}
　　所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
　　公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)
　　证明如下：
　　由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数
　　log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1
　　在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进伯制整数或小数的对数。例如lg10=1,lg100=lg102=2,lg4000=lg（103×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数，并将记号 loge。简写为ln，称为自然对数，因为自然对数函数的导数表达式特别简洁，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上，数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。

回答4：

1.lg就是以10为底数. 比如:Lg100=Log10 （100） =2

2.log是对数符号,且底数是未知的，用log a（b）表示以a为底b的对数.

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