为什么正定矩阵一定和单位矩阵合同？

正定矩阵A的特征值都是正的,可相似对角化成 diag(a1,a2,...,an)，ai>0。

即存在正交矩阵P,使 P'AP = diag(a1,a2,...,an)

取 C = diag( √a1,√a2,...,√an)

则有 C'P'APC = C'diag(a1,a2,...,an)C = E

即 (PC)'A(PC) = E

所以A与单位矩阵合同。

扩展资料：

正定矩阵

（1）广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。

例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）

（2）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。

正定矩阵的特征值都是大于0的
而矩阵合同就是要
特征值的正负性都相同
即同阶的方阵
其正特征值，负特征值，零特征值
三者的个数都相同
单位矩阵的特征值都是1
那么和正定矩阵一定合同的

如下图所示，希望能帮到大家。

ps：图片无法旋转，非常抱歉。

特征值的正负个数对应正负惯性指数的值 正定矩阵正惯性指数为n,秩为n,而单位阵也是秩为n，且特征值均为1(正惯性指数为n),故正定矩阵一定合同于单位阵(两矩阵合同的条件是秩相等，正惯性指数相等)