82问答网 > 3的M次方与3 的N次方这两个数的末三位数字相同，且M、N都不等于零，M大于N 。求M-N的最小值。

3的M次方与3 的N次方这两个数的末三位数字相同，且M、N都不等于零，M大于N 。求M-N的最小值。

2025-04-02 02:52:38

推荐回答（4个）

回答1：

解一：
找规律!
从3^5开始看起(前面的只有2位数),末3位分别是:
243 729 187 561
683 049 147 441
323 969 907 721
...
从上面排列可以看出,末位数是4位1循环,
十位数每列递增相同(如第一列递增4),
故每递增5行末2位相同,
故第6行第一列末两位必然是43,这个数是3^25,算得末3位为443,
于是百位递增为2,
故每递增25行末3位相同,
即3^m应当与3^(m+100k)末3位相同,其中k∈Z
故m-n最小值为100

解二：
末三位数字相同，则差3^m-3^n=3^n[3^(m-n)-1]能被1000整除.
由于3^n不能被1000整除，那么3^(m-n)-1能被1000整除，
所以3^(m-n)末位数为1,

由于3^4=81，而3,3^2,3^3末位数都不是1，
所以3^(m-n)=81^k，k为正整数。
m-n=4k。

(81^k-1)/(81-1)=1+81+81^2+…+81^(k-1)。
81^k-1=80*[1+81+…+81^(k-1)]，它能被1000整除。
8*[1+81+…+81^(k-1)]能被100整除

这样，能被25整除。
如果只看个位，一共是k个1,即个位数的总和为k，
而1+81+…+81^(k-1)能被5整除，那么总和的个位数能被5整除，
所以k也能被5整除。

设k=5p，p为整数，81^k=81^5p=(81^5)^p。
而81^5=3486784401，对于千位以上，不影响最后乘积的后三位。
所以只看401^p被1000除余1即可。

(401^p-1)/(401-1)=1+401+401^2+…+401^(p-1)
401^p-1=400*[1+401+…+401^(p-1)]，能被1000整除。
2*[1+401+…+401^(p-1)]能被5整除
即1+401+…+401^(p-1)能被5整除。

很明显，每项个位数都是1，一共p个，总和的个位数字跟p的个位数字相同，
所以p能被5整除。而且只要p是5的倍数，就满足401^p-1能被1000整除。

如果p=5q，q为正整数，那么k=5p=25q，m-n=4k=100q。
取最小的q=1，那么m-n最小为100。

验证一下，401^5=10368641602001，刚好被1000除余1.
这样(81^5)^5末三位数跟401^5相同，为001，
即3^(m-n)=3^(4*5*5)=3^100末三位数为001。
对于任意一个3^n，乘上末三位数为001的3^(m-n)，
其结果3^m的末三位与3^n显然相同。

解三：
在word中输入公式power（3，x），x为次方
可以看出末尾三位数是100一个循环
次方结果
1 3
2 9
3 27
4 81
5 243
6 729
7 187
8 561
9 683
10 49
11 147
12 441
13 323
14 969
15 907
16 721
17 163
18 489
19 467
20 401
21 203
22 609
23 827
24 481
25 443
26 329
27 987
28 961
29 883
30 649
31 947
32 841
33 523
34 569
35 707
36 121
37 363
38 89
39 267
40 801
41 403
42 209
43 627
44 881
45 643
46 929
47 787
48 361
49 83
50 249
51 747
52 241
53 723
54 169
55 507
56 521
57 563
58 689
59 67
60 201
61 603
62 809
63 427
64 281
65 843
66 529
67 587
68 761
69 283
70 849
71 547
72 641
73 923
74 769
75 307
76 921
77 763
78 289
79 867
80 601
81 803
82 409
83 227
84 681
85 43
86 129
87 387
88 161
89 483
90 449
91 347
92 41
93 123
94 369
95 107
96 321
97 963
98 889
99 667
100 1
101 3
102 9
103 27
104 81
105 243

回答2：

末三位数字相同，则差3^m-3^n=3^n[3^(m-n)-1]能被1000整除.
由于3^n不能被1000整除，那么3^(m-n)-1能被1000整除，
所以3^(m-n)末位数为1,

由于3^4=81，而3,3^2,3^3末位数都不是1，
所以3^(m-n)=81^k，k为正整数。
m-n=4k。

(81^k-1)/(81-1)=1+81+81^2+…+81^(k-1)。
81^k-1=80*[1+81+…+81^(k-1)]，它能被1000整除。
8*[1+81+…+81^(k-1)]能被100整除

这样，能被25整除。
如果只看个位，一共是k个1,即个位数的总和为k，
而1+81+…+81^(k-1)能被5整除，那么总和的个位数能被5整除，
所以k也能被5整除。

设k=5p，p为整数，81^k=81^5p=(81^5)^p。
而81^5=3486784401，对于千位以上，不影响最后乘积的后三位。
所以只看401^p被1000除余1即可。

(401^p-1)/(401-1)=1+401+401^2+…+401^(p-1)
401^p-1=400*[1+401+…+401^(p-1)]，能被1000整除。
2*[1+401+…+401^(p-1)]能被5整除
即1+401+…+401^(p-1)能被5整除。

很明显，每项个位数都是1，一共p个，总和的个位数字跟p的个位数字相同，
所以p能被5整除。而且只要p是5的倍数，就满足401^p-1能被1000整除。

如果p=5q，q为正整数，那么k=5p=25q，m-n=4k=100q。
取最小的q=1，那么m-n最小为100。

验证一下，401^5=10368641602001，刚好被1000除余1.
这样(81^5)^5末三位数跟401^5相同，为001，
即3^(m-n)=3^(4*5*5)=3^100末三位数为001。
对于任意一个3^n，乘上末三位数为001的3^(m-n)，
其结果3^m的末三位与3^n显然相同。

回答3：

找规律!
从3^5开始看起(前面的只有2位数),末3位分别是:
243 729 187 561
683 049 147 441
323 969 907 721
...
从上面排列可以看出,末位数是4位1循环,
十位数每列递增相同(如第一列递增4),
故每递增5行末2位相同,
故第6行第一列末两位必然是43,这个数是3^25,算得末3位为443,
于是百位递增为2,
故每递增25行末3位相同,
即3^m应当与3^(m+100k)末3位相同,其中k∈Z
故m-n最小值为100

回答4：

100

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