已知函数 f(x)= 1 (1+x) n +aln(x+1) ，其中n∈N*，a为常数．（Ⅰ）当n=2时，求函数f（x）

2024-12-02 19:57:57

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回答1：

（Ⅰ）由已知得函数f（x）的定义域为{x|x＞-1}，
当n=2时， f(x)=

(1+x) 2

+aln(x+1) ，
所以 f ′ (x)=

a (1+x) 2 -2

(1+x) 3

.
（1）当a＞0时，由f′（x）=0得 x 1 =-1+

＞-1， x 2 =-1-

＜-1，
此时f′（x）=

a(x- x 1 )(x- x 2 )

(x+1) 3

．
当x∈（1，x₁ ）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（x₁ +∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

（2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f（x）无极值．
综上所述，n=2时，
当a＞0时，f（x）在 x=-1+

处取得极小值，极小值为 f(-1+

(1+ln

).
当a≤0时，f（x）无极值．
（Ⅱ）先证明当x≥0时，f（x）≤x+1，只要设 g(x)=x+1-f(x)，则 g ′ (x)=1+

(x+1) n+1

x+1

(x+1) n+1

＞0(x≥0) ，
∴g（x）在[0，+∞）是增函数，
∴g（x）≥g（0）=0，得证；
而b₁ ，b₂ ，…，b_k 均非负数，且b₁ +b₂ +…+b_k =1，所以f（b₁ ）+f（b₂ ）+…+f（b_k ）≤k+1．