82问答网 > 已知抛物线C：y=ax2，点P（1，-1）在抛物线C上，过点P作斜率为k1、k2的两条直线，分别交抛物线C于异于点P

已知抛物线C：y=ax2，点P（1，-1）在抛物线C上，过点P作斜率为k1、k2的两条直线，分别交抛物线C于异于点P

2025-03-20 08:05:36

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回答1：

（I）将P（1，-1）代入抛物线C的方程y=ax²得a=-1，
∴抛物线C的方程为y=-x²，即x²=-y．
焦点坐标为F（0，-

1

4

）．
（II）设直线PA的方程为y+1=k₁（x-1），
联立方程

y+1＝k1(x?1)

y＝?x2.

消去y得x²+k₁x-k₁-1=0，
则1?x₁=-k₁-1，即x₁=-k₁-1．
由△=k₁²-4（-k₁-1）=（k₁+2）²＞0，得k₁≠-2．
同理直线PB的方程为y+1=k₂（x-1），
联立方程

y+1＝k2(x?1)

y＝?x2.

消去y得x²+k₂x-k₂-1=0，
则1?x₂=-k₂-1，即x₂=-k₂-1．且k₂≠-2．
又∵k₁+k₂=0，∴k₁≠2．
设点M的坐标为（x，y），由

BM

＝

MA

，则x＝

x1+x2

2

.x＝

?k1?1?k2?1

2

＝

?2?(k1+k2)

2

.
又∵k₁+k₂=0，∴x=-1．