公司拖欠工资，劳动监察是否应该移交案件，追究刑事责任？

公司拖欠工资，是违法的，可以拿着相关工作证明向劳动监察部门反映，劳动监察部门在确认公司拖欠工资的情况下，会责令公司全额支付工资，不需要移交案件。

《劳动合同法》第八十五条规定：
用人单位有下列情形之一的，由劳动行政部门责令限期支付劳动报酬、加班费或者经济补偿；劳动报酬低于当地最低工资标准的，应当支付其差额部分，逾期不支付的，责令用人单位按应付金额百分之五十以上百分之一百以下的标准向劳动者加付赔偿金：
（一）未按照劳动合同的约定或者国家规定及时足额支付劳动者劳动报酬；
（二）低于当地最低工资标准支付劳动者工资的；
（三）安排加班不支付加班费的；
（四）解除或者终止劳动合同，未依照本法规定向劳动者支付经济补偿的。

【我是否可以追究单位的刑事责任】你不可以。因为属于公诉案件。
【这种情况，劳动监察大队是不是应该将案件移交公安部门？】正确。
【劳动监察会不会推卸责任，不愿移交案件？】不可以，否则将面临渎职罪的指控。
【其他途径】
可以持劳动监察决定书依法向人民法院申请强制执行。

目前，因拖欠工资要追究刑事责任的，目前基本上没有这类案件，如果没有转移财产、逃匿等方法逃避付款一般公安也不会立案的，这类案件还是得你自己去仲裁，等仲裁赢了申请法院强制执行就行了